Falecer, como sinónimo de morrer, pode empregar-se em «o gato faleceu». Com efeito, este verbo significa «morrer; perder a vida; faltar; escassear; falhar» e vem «do lat[im] *fallescēre, "faltar", freq[uentativo] de fallĕre "enganar"» [Dicionário da Língua Portuguesa 2008, da Porto Editora].

O Dicionário Eletrônico Houaiss, além de dizer que falecer significa «morrer, expirar», apresenta exemplos de frases que não têm que ver com pessoas: «abre-se uma passagem onde as árvores falecem»; «faleceram-lhe oportunidades»; «sua vida falece de ordem e disciplina»; «falece-lhe experiência»; e «falecem-lhe os recursos para sobreviver».

A sua pergunta, porém, tem alguma razão de ser: usualmente, emprega-se o verbo falecer para pessoas, e o verbo morrer para pessoas e animais. Assim, embora não seja incorrecto dizer «o gato faleceu», é preferível a forma «o gato morreu».