Concordo com a apreciação que faz, embora tenha dúvidas acerca da função de eu, na frase em apreço e que repito como 1:

1. «O professor foi veementemente criticado por seu melhor amigo, que sou eu mesmo.»

Com efeito, o pronome relativo que, cujo antecedente é «seu melhor amigo», representa, do meu ponto de vista, um predicativo do sujeito que vem antes do verbo. A frase canónica seria «Eu sou o seu melhor amigo», que tem como equivalente «O seu melhor amigo sou eu».

Ao interpretarmos eu como sujeito, a concordância é inquestionável. Na segunda frase em apreço, que repito como 2, a situação é um pouco mais complexa.

2. «O professor foi veementemente criticado por seu melhor amigo, que vem [venho?] a ser eu mesmo.»

A frase integra uma expressão relativamente fixa («que vem a ser»), que, por isso mesmo, não é de fácil interpretação sintática, e qualquer análise feita sem a conveniente e profunda investigação pode soar a artificial. «Vir a ser», embora seja, efetivamente, uma unidade de sentido, não é um complexo (ou locução) verbal constituído por um auxiliar típico e por um verbo principal. Além disso, numa construção como 2, mais do que a concordância, é o próprio uso de «vir a ser» que parece estranho…

Podemos, ainda assim, tentar analisar a frase. Assumindo que não estamos perante um complexo verbal canónico, poderemos fazer a análise de cada um dos verbos e considerar que o relativo que, ou o seu referente «seu melhor amigo», é o sujeito do verbo vir, «vem», o que justificaria a terceira pessoa. Por seu lado ser teria como sujeito eu e como predicativo do sujeito o mesmo que (= seu melhor amigo), que serviria de sujeito a «vem». No verbo ser não se registam problemas de concordância, dado que a presença da preposição a, em «vem a ser», obriga ao uso do infinitivo.